\(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)\left(x+1\right)^3+x^2-x-3\) là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên \(\left[-2;-1\right]\)

Ta có \(f\left(-1\right)=-1< 0\) và \(f\left(-2\right)=m^2+2>0\) nên \(f\left(-1\right)f\left(-2\right)< 0\) với mọi m.

Do đó, phương trình \(f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1) với mọi m. Nghĩa là, phương trình \(\left(1-m^2\right)\left(x+1\right)^3+x^2-x-3=0\) luôn có nghiệm với mọi m.

Tìm 2 giá trị của x để hàm \(f\left(x\right)\) nhận kết quả trái dấu là được.

a.

Đặt \(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\)

Hàm \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R

\(f\left(0\right)=-1< 0\) (chọn \(x=0\) do nó làm triệt tiêu tham số m, thường sẽ ưu tiên chọn những giá trị x kiểu thế này. Ở câu này, có đúng 1 giá trị x khiến m triệt tiêu nên phải chọn thêm)

\(f\left(-1\right)=m^2-1+6-1=m^2+4>0\) với mọi m (để ý rằng ta đã có \(f\left(0\right)\) âm nên cần chọn x sao cho \(f\left(x\right)\) dương, mà \(-m^2\) nên ta nên chọn x sao cho nó chuyển dấu thành \(m^2\))

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(-1\right)< 0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Hàm luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc  \(\left(-1;0\right)\) với mọi m

Hay với mọi m thì pt luôn luôn có nghiệm

b.

Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2+m+5\right)\left(3-x\right)^{2021}x+x-4\)

\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R

\(f\left(0\right)=-4< 0\) 

(Tới đây, nếu ta chọn tiếp \(x=3\) để triệt tiêu m thì cho \(f\left(3\right)=-1\) vẫn âm, ko giải quyết được vấn đề, nên ta phải chọn 1 giá trị khác. Thường trong những trường hợp xuất hiện \(m^2\) thế này, cố gắng chọn x sao cho hệ số của \(m^2\) dương (nếu cần \(f\left(x\right)\) dương, còn cần \(f\left(x\right)\) âm thì chọn x sao cho hệ số \(m^2\) âm). Ở đây dễ nhất là chọn \(x=2\) , vì khi đó \(\left(3-2\right)^{2021}=1\) vừa đảm bảo hệ số \(m^2\) dương vừa dễ tính toán, nếu chọn \(x=1\) cũng được thôi nhưng quá to sẽ rất khó biến đổi)

\(f\left(2\right)=\left(m^2+m+5\right).\left(3-2\right)^{2021}.2+2-4=2\left(m^2+m+5\right)-2\)

 \(=2m^2+2m+8=2\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{15}{2}>0;\forall m\)

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(2\right)< 0;\forall m\Rightarrow\) hàm luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;2\right)\) với mọi m

Hay pt đã cho luôn có nghiệm với mọi m

Dạ em cảm ơn thầy nhiều ạ!

Xét hàm số f(x)=m(x+1)2(x−2)3+(x+2)(x−3)f(x)=m(x+1)2(x−2)3+(x+2)(x−3) xác định và liên tục trên RR

⇒f(x)⇒f(x) xác định và liên tục trên [−2;3][−2;3].

Ta có: {f(−2)=−64mf(3)=16m⇒f(−2).f(3)=−1024m2{f(−2)=−64mf(3)=16m⇒f(−2).f(3)=−1024m2.

+ Với m=0⇒f(−2)=f(3)=0m=0⇒f(−2)=f(3)=0

⇒⇒ Phương trình f(x)=0f(x)=0 có nghiệm x=−2,x=−2, x=3.x=3.

+ Với m≠0⇒f(−2).f(3)<0m≠0⇒f(−2).f(3)<0

⇒⇒ Phương trình f(x)=0f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (−2;3)(−2;3).

Vậy phương trình f(x)=0f(x)=0 luôn có nghiệm với mọi tham số m.

Xét hàm số \(f\left(x\right)=m\left(x+1\right)^2\left(x-2\right)^3+\left(x+2\right)\left(x-3\right)\)
f(x)=m(x+1)2(x−2)3+(x+2)(x−3), \(D=ℝ\)
R⇒f(x)⇒f(x) xác định và liên tục trên [−2;3][−2;3].

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-2\right)=-64m\\f\left(3\right)=16m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(3\right)=-1024m^2\)

+ Với m=0⇒f(−2)=f(3)=0m=0⇒f(−2)=f(3)=0

⇒⇒ Phương trình f(x)=0f(x)=0 có nghiệm x=−2,x=−2, x=3.x=3.

+ Với m≠0⇒f(−2).f(3)<0m≠0⇒f(−2).f(3)<0

⇒⇒ Phương trình f(x)=0f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (−2;3)(−2;3).

Vậy phương trình f(x)=0f(x)=0 luôn có nghiệm với mọi tham số m.

Đặt \(f\left(x\right)=x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1\)

Hàm \(f\left(x\right)\) liên tục trên R

\(f\left(0\right)=-1< 0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1\right)\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^5\left(1+\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{m^2+2}{x^4}-\dfrac{1}{x^5}\right)=+\infty.1=+\infty\)

\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại \(a>0\) sao cho \(f\left(a\right)>0\Rightarrow f\left(0\right).f\left(a\right)< 0\Rightarrow\) pt luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;+\infty\right)\)

\(f\left(-1\right)=m^2+1>0;\forall m\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow\) pt luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-1;0\right)\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^5\left(1+\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{m^2+2}{x^4}-\dfrac{1}{x^5}\right)=-\infty.1=-\infty\)

\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại \(b< 0\) sao cho \(f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(b\right).f\left(-1\right)< 0\Rightarrow\) pt luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;-1\right)\)

Vậy pt đã cho luôn có ít nhất 3 nghiệm thực

a: \(\text{Δ}=\left(2m-2\right)^2-4\left(2m-3\right)\)

\(=4m^2-8m+4-8m+12\)

\(=4m^2-16m+16\)

\(=\left(2m-4\right)^2>=0\)

Do đó: Phương trình luôn có nghiệm

b: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì 2m-3<0

hay m<3/2

c: Để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia thì ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1-2x_2=0\\x_1+x_2=2m-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3x_2=-2m+2\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{2m-2}{3}\\x_1=\dfrac{4m-4}{3}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1x_2=2m-3\)

\(\Leftrightarrow2m-3=\dfrac{2m-2}{3}\cdot\dfrac{4m-4}{3}\)

\(\Leftrightarrow8\left(m-1\right)^2=9\left(2m-3\right)\)

\(\Leftrightarrow8m^2-16m+8-18m+27=0\)

\(\Leftrightarrow8m^2-34m+35=0\)

\(\text{Δ}=\left(-34\right)^2-4\cdot8\cdot35=36>0\)

Do đó: Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{34-6}{16}=\dfrac{28}{16}=\dfrac{7}{4}\\m_2=\dfrac{34+6}{16}=\dfrac{40}{16}=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

\(x^2-2\left(m-1\right)x-3-m=0\)  \(\left(1\right)\)

từ \(\left(1\right)\)  ta có \(\Delta'=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-\left(-3-m\right)\)

\(\Delta'=m^2-2m+1+m+3\)

\(\Delta'=m^2-m+4\)

Câu b, nx cơ bn ơi !

\(\left(4x_1+1\right)\left(4x_2+2\right)=17\)

\(4x_1.4x_2+8x_1+4x_2+2=17\)

\(4\left(x_1.x_2\right)+4\left(2x_1+x_2\right)=15\)

P/s cần xem lại đề bài chứ ở câu a) ko c/m được  PT luôn có nghiệm 

a.

- Với \(m=\pm1\Rightarrow-6x=1\Rightarrow x=-\dfrac{1}{6}\) có nghiệm

Đặt \(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\)

- Với \(\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\Rightarrow1-m^2>0\)

\(f\left(0\right)=-1< 0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left[\left(1-m\right)^2x^3-6x-1\right]\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^3\left(1-m^2-\dfrac{6}{m^2}-\dfrac{1}{m^3}\right)=-\infty\left(1-m^2\right)=+\infty\) dương

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;0\right)\)

- Với \(-1< m< 1\Rightarrow1-m^2< 0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left[\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\right]=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3\left[\left(1-m^2\right)-\dfrac{6}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}\right]=+\infty\left(1-m^2\right)=+\infty\) dương

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;+\infty\right)\)

Vậy pt đã cho có nghiệm với mọi m

b. Để chứng minh pt này có đúng 1 nghiệm thì cần áp dụng thêm kiến thức 12 (tính đơn điệu của hàm số). Chỉ bằng kiến thức 11 sẽ ko chứng minh được

c. 

Đặt \(f\left(x\right)=\left(m-1\right)\left(x-2\right)^2\left(x-3\right)^3+2x-5\)

Do \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên \(f\left(x\right)\) liên tục trên R

\(f\left(2\right)=4-5=-1< 0\)

\(f\left(3\right)=6-5=1>0\)

\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(3\right)< 0\) với mọi m

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (2;3) với mọi m

Hay pt đã cho luôn luôn có nghiệm